TV 스크린이나 컴퓨터 모니터 등에 표현되는 디지털 영상을 수학적으로 해석한다면 어떤 결과가 나올까? 1990년대에 접어들면서 컴퓨터과학과 정보통신의 급속한 발전과 더불어 이산객체(점·선·면·원·구·다면체 등으로 구성된 유한집합 혹은 이산집합)의 중요한 성질을 찾는 연구에 대한 열기가 증폭되면서 디지털위상수학과 디지털기하학이 전성기를 맞고 있다. 전북대 한상언 교수는 지난 10여 년간 디지털피복이론과 고차원 이산곡면론을 정립, 대한수학회가 지정한 수학분야 최고 수준의 국제저명학술지인 JMIV와 Information Sciences 등에 다수의 논문을 발표함으로써 국제적으로 주목을 받고 있다.

수학분야 미해결 난제 해결하며 디지털위상수학 발전기여

누구나 학창시절 수학을 떠올리면 고리타분하고 쉽게 정복되지 않는 어려운 과목으로 머릿속에 남아 있다. 물론 수학과목을 좋아해 좋은 점수를 받는 학생도 있지만 대부분은 쉽게 오르지 않는 점수 때문에 골치 아파한 경험이 있다. 그러나 수학은 영상 정보화시대를 맞아 때를 만난 듯 더욱 큰 위력을 발휘하고 있다. 바로 디지털위상수학과 디지털기하학 분야에서 그렇다. 디지털위상수학 및 이산기하학 분야의 연구는 수학과 공학의 융합 학문적 사고가 필요한 영역이다. 이 분야가 발전하면 할수록 특히 컴퓨터공학, 전자통신분야, 생명공학 분야 등의 학문발전에 많은 기여를 할 수 있는 분야로 꼽힌다. 그러나 용어 자체부터 생소한 이 분야는 일반인이 이해하기란 쉽지 않았지만 큰 개념을 이해하는 데 노력하면서 인터뷰를 이어갈 수 있었다.

한상언 교수는 먼저 “미국을 비롯한 선진국에서는 이산기하학을 기반으로 컴퓨터과학, 생명과학, 그리고 금융수학 등을 위한 이산수학 및 이산기하학연구 증진프로그램이 활발히 운영되고 있다”고 국외 분위기를 전하면서 “현재 디지털기하학분야에서 두 개의 이산    -곡선의 데카르트곱에 대해 모든 차원의 디지털    -기본군을 계산하고 그들의 성질을 연구하는 문제는 미해결된 난제였다”라고 말문을 열었다.

한 교수는 자신을 비롯한 연구원과 연구실에서 결국 이 문제를 해결하고 이산     -곡선의 데카르트곱의    -기본군은 곱성질이 없음을 증명했다. 세계 수학계에 획기적인 사건이었다. 한 교수는 결국 이 난제를 해결함으로써 이산기하학 및 디지털위상수학의 발전에 큰 기여를 했다는 평을 받고 있다. 이 같은 연구업적을 바탕으로 한 교수는 수학 및 응용수학분야 SCI 최고권위지 중의 하나인 Journal of Mathematical Imaging and Vision(JMIV: 대한수학회에서 공시한 NSC(Nature, Science, Cell지)급 저널임)에 지난 2008년 출판되는 눈부신 성과를 거뒀다. 이뿐만이 아니다. 한 교수 연구실은 지난 7년간 디지털기하학 분야에서 활발한 연구성과를 얻어 Information Sciences, ACTA Applicandae Mathematicae, International Journal of Applied Mathematics and Computer Sciences, International Journal of Computer Mathematics, JKMS 등에 논문 42편과 저서 1권을 출판했다. 또한 국제수학자대회(ICM 2010, 인도) 등 국제학술회의에 21회 초청강연 및 논문발표, 국가수리과학연구소 Thematic 프로그램운영 등을 통해 이산기하학 분야의 국내외 연구를 주도적으로 수행하고 있다.

지역대학 우수과학자로 선정돼 3가지 프로젝트 중점 연구

한 교수는 현재 지역대학 우수과학자 사업으로 선정된 ‘디지털 피복공간의 데카르트곱의 자기동형군과 응용’(2009.5.1- 2012.4.30)을 중점 연구하고 있다. 디지털위상수학 분야에서 ‘두 개의 디지털 피복공간(digital covering space)의 데카르트곱의 자기동형군 연구 및 활용’ 문제는 미해결된 난제로 통한다. 한 교수는 “이 문제를 해결하기 위해 먼저 해결해야만 하는 매우 중요한 문제로서 여섯 가지 소주제를 선정해 3년 동안 연구를 수행해 이 같은 미해결 문제를 해결하기 위해 노력하고 있다”고 설명했다. 한 교수에 따르면 이번 연구는 기존의 이산기하학적 연구 방법과 다른 매우 독창적인 아이디어를 사용해 연구를 수행하고 있다.

그 결과를 활용해 이산기하학 분야의 미해결 문제를 해결하는 매우 독창적인 연구라는 것이다. 한 교수는 “지금까지 연구되어 왔던 기존의 연구방법으로는 구별할 수 없었던 곱격자공간(Product lattice space)의 부분공간들을 구별할 수 있는 능력을 갖게 될 것이다”면서 “    차원 격자공간의 부분 공간 분류에 획기적인 전기가 되리라 확신하기에 이번 연구의 학문적 가치는 매우 높다”고 말했다. 한 교수는 또 기본연구자 지원 사업인 ‘공리화 된 국소유한공간의 이산기하적 성질 연구 및 활용’(2010.9.1~2013.8.31)이란 두 번째 프로젝트도 추진하고 있다. 한 교수는 “연속 공간(continuous space) 및 이산 공간(digital space)에서 동시에 활용할 수 있는 수학적 방법에 관한 연구 및 활용은 수학 및 공학 분야에 매우 중요한 연구 영역”이라며 “이번 연구는 3년 동안의 체계적인 연구계획을 세워서 성공적으로 수행하고 있다”고 말했다.

이번 연구 역시 아이디어를 창의적으로 개발하여 응용하는 연구이기에 학문적 가치와 중요성이 매우 크다는 평이다. 이 밖에도 한 교수는 ETRI(한국전자통신연구원)의 ‘인터넷미래인프라 연구팀’과 ‘미래인터넷과 Social network의 위상적 구조’에 관한 협력 연구를 진행하고 있고 국내외 4개 팀과 공동연구를 추진하고 있다.

현재 연구 성공하면 컴퓨터 그래픽 등 획기적 발전

최근 한 교수가 중점적으로 연구하고 있는 디지털위상수학과 디지털기하학 분야의 실질적인 연구가 시작된 지는 불과 20여 년밖에 되지 않는 신생학문이다. 특히 정보통신 분야의 급속적인 발전과 더불어 수학 분야와 컴퓨터과학의 융합학문이기에 응용분야도 많고 미해결된 문제도 매우 많다. 한 교수는 지난 1990년부터 이 연구를 수행하면서 100여 편의 논문과 10권의 저서를 출판하면서 연구 활동을 활발히 진행하고 있다.

특히, 이산기하학분야에서 많은 미해결 문제를 해결하면서 이산기하학분야 연구를 주도하고 있다. 특히 지난 2008년초    차원 격자공간에 일반화된    -인접(    -adjacency)을 창의적으로 도입, 디지털연속성, 디지털동형사상 개념을 창안해 디지털호모토피, 디지털피복이론 등을 정립하고, 다양한 성질을 연구하여 이산기하도형들을 분류하는 데 성공했다. 한 교수는 여기에 만족하지 않고 최근에 몇 가지 문제를 해결하는 데 주력하고 있다. 첫째는    -인접을 갖는 이산공간의 국소적 불변량을 찾고 그들의 성질을 연구하며, 이산기하학적 특성을 보존하는 함수 연구의 문제점을 해결하는 것이다. 두 번째는 두 개의 동형 이산 공간들의 적공간들이 동형이 될 수 있는가 하는 문제다.

물론, 일반적으로는 성립하지 않는다. 세 번째는 두 개의 이산공간의 적공간의    -기본군이 곱성질이 유지되기 위한 적공간의    -인접 연구이다. 이 세 가지 연구 영역은 이산기하학 분야에서 매우 중요한 미해결 문제로 남아 있는 상태다.
“이 문제들을 성공적으로 진행해 이산동력계(Discrete dynamic system), 부호이론(Coding theory), 컴퓨터 그래픽, 영상처리 및 의학영상(MRI, CT)에 응용하는 데 목적을 두고 연구실을 운영하고 있다”고 말하는 한 교수는 전북대 사범대학 수학교육과를 졸업한 뒤 전남대에서 이학박사 학위를 취득한 토종수학자로, 2009년부터 전북대에서 연구 중점 교수로 선정되었다. 현재 대한수학회 이사와 호남수학회 부회장을 맡고 있다.